С наступлением холодов у меня начались проблемы с запуском моего Mercedes C240 2001 года выпуска

Я бы проверил аккумулятор. Если клеммы не затянуты должным образом и желательно не покрыты антикоррозийным составом, может показаться, что они подключены, но на самом деле этого недостаточно для запуска стартера.

Кроме того, современные аккумуляторы изготовлены на основе кальциевого сплава, из-за чего они резко теряют ёмкость, если когда-либо разряжались. Однако, как правило, в холодную погоду автомобиль заводится с трудом, и аккумулятору приходится нелегко. Но вы описываете не этот конкретный случай, поскольку говорите, что шума нет.

Странно, что вы не слышите шума. Вот ещё одна возможная причина:

В автомобилях Mercedes для активации различных электрических систем используется система BUS. A-класс был печально известен такими внезапными сбоями, см. эту статью. Возможно, ваш автомеханик не заметил электронный соленоид.

Я подозреваю, что холодная погода просто сделала неисправность более заметной, а не стала её причиной.

Я бы поискал реле в системе запуска двигателя, которое барахлит на холоде.

Вот несколько советов по запуску автомобиля зимой:https://www.yourmechanic.com/article/how-to-start-a-car-in-cold-weather

У других людей тоже есть эти проблемы