Иногда заводится, а иногда либо ничего не происходит, либо при повороте ключа раздается один щелчок. Mazda 626 special, 5-ступенчатая коробка передач, 1998 год

Возможно, стартер нуждается в ремонте, возможно, плохой контакт у маленького провода, идущего к соленоиду. Возможно, дело в соленоиде.
Возможно, напряжение аккумулятора слишком низкое и его мощности недостаточно для запуска автомобиля.

Поездка к автоэлектрику для диагностики того стоит.

Ух ты. Много информации, но мало знаков препинания.

В любом случае я вроде как думаю, что «щелчок» — это соленоид стартера, у которого подгорели контакты или он вышел из строя по какой-то другой причине, из-за чего он не работает как «реле», как должен, и не направляет большой ток на обмотки стартера.

Другая возможная причина заключается в том, что в стартере есть так называемое «мёртвое пятно», которое приводит к тем же последствиям, но может быть диагностировано по неисправности соленоида следующим образом:

Когда вы слышите «щелчок, но не заводится», несколько раз ударьте молотком по стартеру (если до него можно дотянуться). Не так, как будто вы его ненавидите, как свекровь вашей бывшей жены, а так, как будто вы хотите преподать ему мягкий урок. Это сильнее, чем постучать, но на самом деле с меньшей силой, чем потребовалось бы, чтобы забить гвоздь.

(Если вы ударили по стартеру и что-то сломалось, значит, вы ударили слишком сильно.)

Это может быть как легко выполнимой задачей, так и нет. И это не так важно, потому что в любом случае окончательным решением будет замена стартера/соленоида в сборе. Существуют некоторые восстанавливаемые соленоиды (для старых моделей Toyota), если у вас есть доступ к запчастям и знаниям (а вы старый, дешёвый и живёте под мостом), но для остальных просто купите новый стартер.

Важны не только соединения, но и «напряжение разомкнутой цепи» (НРЦ) аккумулятора. С помощью мультиметра проверьте напряжение аккумулятора в состоянии покоя и при запуске двигателя. Вы должны увидеть 12,4–12,6 В при открытом капоте и, возможно,
8–9 В при запуске двигателя. Если напряжение не падает значительно при запуске двигателя, это признак того, что неисправен соленоид (сценарий № 1) или что в стартере есть «мёртвая зона» (сценарий № 2).

В любом случае решение — замена стартера. Или жизнь под мостом... но в наши дни за проезд по мосту взимается плата, и я бы не советовал так делать.