Странная Начальная проблема

У нас возникла странная проблема с запуском двигателя Nissan Micra SE K12 2006 года выпуска.

Впервые это случилось в марте, когда было очень холодно: двигатель заводился, аккумулятор был заряжен, стартер работал на пределе, но машина просто не заводилась.

Я вызвал механика, и он запустил двигатель (в конце концов), но он не знал, почему двигатель завелся и что он сделал, чтобы его запустить.

Три месяца всё работало нормально, а в июне снова начались проблемы. Отвезли машину в гараж, но там не смогли её завести. На прошлой неделе отвезли в другой гараж, и там она завелась с первого раза и с тех пор работает каждый день! Так что они тоже не знают, в чём дело.

Прежде чем окончательно выйти из строя, в течение недели или двух он начинает работать всё хуже и хуже, а потом и вовсе перестаёт запускаться, но мы вынимаем ключ, поворачиваем его и пробуем вставить с другой стороны, и он запускается. Иногда это не помогает, и мы пробуем второй ключ, и он работает. Потом он окончательно выходит из строя.

Есть ли у кого-нибудь хоть какие-то предположения о том, что это может быть?

На данный момент мы исключили:
Цепь ГРМ — в последнем автосервисе эту проблему исключили.
Верхний датчик коленчатого вала — заменили в июне, но ничего не изменилось.
Свечи зажигания — новые, установлены в апреле, но это ничего не изменило.
Датчик температуры охлаждающей жидкости — заменили после того, как в апреле загорелась лампочка предупреждения о неисправности двигателя.
Аккумулятор — работает, так что, похоже, с ним всё в порядке, и теперь он снова запускается.
Стартер — работает, так что, похоже, с ним всё в порядке, и теперь он снова запускается.

В мае компания Nissan в рамках отзыва произвела замену реле ЭБУ, но это произошло уже после того, как автомобиль вышел из строя в первый раз.

Обновление: мы забрали его из гаража. Как только его сняли с платформы, он завелся и работал каждый день в течение недели, пока стоял там. Мы забрали его домой, и через неделю он снова отказался заводиться...

Сегодня я завёл машину с толкача, и она сразу же завелась. Может ли быть так, что аккумулятор неисправен? Машина заводится, всё включается, она работает (продолжает работать), индикатор иммобилайзера гаснет, когда я вставляю ключ, а когда она всё-таки заводится, то работает идеально.

И последнее... если я спущу его с нашего холма и попытаюсь завести с толкача, он не заведётся. Просто заглохнет.