Может ли сильно загрязнённый или забитый воздушный фильтр стать причиной того, что двигатель будет сжигать масло?

Ограниченный поток воздуха приводит к более высокому соотношению топлива и воздуха в смеси, в результате чего из выхлопной трубы идёт чёрный дым, а на выхлопной трубе образуется чёрный нагар. Более богатая смесь может привести к смыванию масляного слоя в цилиндрах, из-за чего кольца могут потерять способность удерживать моторное масло там, где оно должно быть. Если масло попадает в камеры сгорания, при его сгорании будет идти синевато-серый дым. Вы ничего не говорите о состоянии выхлопных газов.

Да, возможно.

Очень грязный воздушный фильтр будет сильнее препятствовать прохождению воздуха по впускному тракту. Это приведет к повышению уровня вакуума. Если в вашем двигателе слабые/изношенные сальники (например, сальники клапанов), то из-за высокого уровня вакуума масло может вытекать через них, что приведет к сгоранию масла в двигателе.

Редактировать:

Как мне сообщили (в комментариях), более высокий уровень вакуума может привести к тому, что масло будет просачиваться мимо маслосъёмных колец, если они изношены. Кроме того, в зависимости от расположения и конструкции клапана PCV, вы можете столкнуться с тем, что через него будет проходить избыточное количество масла.