Ухудшается ли качество чеснока, если его нарезать, обжарить, а затем использовать через неделю?

Ухудшается ли качество? Да, да, тысячу раз да. Чеснок (как и лук и другие представители семейства луковых) начинает претерпевать химические изменения в тот момент, когда вы его разрезаете. Это то же самое явление, из-за которого вы плачете, когда режете лук.

Свободно цитирую статью из Википедии...

Фитохимические вещества, придающие чесноку острый вкус, образуются при повреждении клеток растения [...] Образующиеся соединения отвечают за острый или жгучий вкус и сильный запах чеснока. Некоторые соединения нестабильны и продолжают реагировать с течением времени.

Вы когда-нибудь замечали, что даже после непродолжительного обжаривания чеснок становится более сладким и менее острым? Это связано с нестабильностью ароматических соединений и их разрушением в процессе приготовления.

Запах и вкус чеснока обусловлены большим количеством соединений серы. Было установлено, что аллицин является соединением, которое в наибольшей степени отвечает за «остроту» сырого чеснока [...] В процессе приготовления чеснока аллицин разрушается, что смягчает его остроту.

Если вы определяете «качество» как степень сохранения консервированным продуктом тех же характеристик и вкуса, что и у свежего продукта, то качество уже довольно низкое. Его всё ещё можно использовать, но не стоит рассчитывать, что он хоть как-то заменит свежий чеснок.

Безопасно ли есть его спустя целую неделю? Возможно, но проверить это в домашних условиях очень сложно. Комментарий @rumtscho как нельзя лучше отражает суть: если чеснок был достаточно высушен, то с ним всё может быть в порядке (в этом случае он будет ещё дальше от свежего чеснока по вкусу и способу применения), но это маловероятно, и с ним нужно обращаться так же, как с любым другим приготовленным продуктом.

Если вы хотите, чтобы чеснок хранился как можно дольше, храните его целиком! Неочищенный чеснок может храниться несколько недель в прохладном и сухом месте, и вы можете отламывать отдельные зубчики по мере необходимости. Чтобы подготовить зубчик к приготовлению, достаточно раздавить его тяжёлой кастрюлей и быстро разрезать ножом.

Лично я бы подумал, что через неделю он немного потеряет свою остроту. Через день или два я бы уже не беспокоился по этому поводу.

Однако это исключительно моё личное предпочтение в отношении свежего чеснока, я не проводил никаких тестов. Честно говоря, я не готовлю блюда, для которых нужен только обжаренный чеснок, поэтому я всегда добавляю к нему что-то ещё, даже если это просто лук.