Что значит «заправить ГУР при холодном двигателе»?

«Холодный двигатель» означает, что он не запускался достаточно давно, чтобы в нём осталось какое-то остаточное тепло. На практике это означает, что сам блок двигателя должен быть прохладным на ощупь (не холодным и не ледяным, а прохладным в том же смысле, в каком прохладной кажется большая стальная деталь, температура которой примерно равна комнатной). Для большинства автомобилей охлаждение до такой степени обычно занимает несколько часов, поэтому для многих людей проще всего проверить двигатель утром, перед первым запуском в этот день.

Как вы и предполагали, это связано с тем, что уровень жидкости меняется в зависимости от температуры (как из-за нагрева двигателя, так и из-за нагрева в результате внутреннего трения в системе рулевого управления), а общий объём жидкости в системе действительно важен для её правильной работы. Уровень жидкости был выбран таким образом, чтобы учитывать как тепловое расширение из-за нагрева, так и тепловое сжатие в особенно холодные дни.

То, что говорит @fred_dot_u.

Ниже приводится информация о том, что делать, если вы проверяете уровень жидкости в горячем двигателе и обнаруживаете, что он (возможно, опасно) низкий.

Если уровень масла очень низкий при горячем двигателе, можно сразу долить немного масла, но не так много, чтобы при холодном двигателе уровень был выше нормы.

Поскольку велика вероятность того, что уровень масла снизится по мере остывания двигателя*, то, например, доливка масла до верхней отметки при горячем двигателе не причинит вреда, но вам следует проверить уровень ещё раз, когда двигатель остынет.

*Я бы предположил, что уровень всегда будет снижаться при охлаждении двигателя, но я добавляю это примечание «на всякий случай», если у вас очень необычный автомобиль.

Жидкость будет расширяться из-за трения и тепла, выделяемого при эксплуатации автомобиля, а также будет поглощать часть тепла двигателя, проходящего через радиатор и исходящего от блока цилиндров.

Холодный двигатель — это именно то, что нужно. Если вы не можете прикоснуться к части блока цилиндров, значит, двигатель слишком горячий. Перед первым запуском в течение дня двигатель должен остыть, а то небольшое количество тепла, которое может остаться, не повлияет на измеренный уровень.